Oran ve Orantı
Oran ve orantı, doğru ve ters orantı, bileşik orantı, orantılı paylaştırma, harita ölçeği, birim dönüşümü ile aritmetik ve geometrik ortalama bu konudadır. KPSS ve AGS'de hem doğrudan sorulur hem de işçi, hız ve karışım problemlerinin temelini oluşturur.
- 1Özeti oku
- 2Testi çöz
- 3Yanlışları tekrar et
Konu özeti
Oran ve orantı
- Oran: iki çokluğun bölümüdür: a/b (b ≠ 0). Örnek: 12 kız, 18 erkek varsa kız/erkek = 12/18 = 2/3.
- Aynı cins çokluklar oranlanırken birimler eşitlenir; oranın birimi kalmaz. Örnek: 50 cm'nin 2 m'ye oranı 50/200 = 1/4.
- Orantı: iki oranın eşitliğidir: a/b = c/d.
- İçler-dışlar çarpımı: a/b = c/d ise a · d = b · c. Örnek: x/6 = 4/3 → 3x = 24 → x = 8.
- Oran sayının kendisi değildir: a/b = 2/3 ise a = 2k, b = 3k yazılır. Örnek: a + b = 25 ise 5k = 25, k = 5 → a = 10, b = 15.
Orantının özellikleri: k sabiti
- a/b = c/d = e/f = k ise a = b · k, c = d · k, e = f · k yazılır.
- Payların toplamı ÷ paydaların toplamı da k'dir. Örnek: a/2 = b/3 = c/5 ve a + b + c = 30 → 10k = 30, k = 3 → a = 6, b = 9, c = 15.
- Pay ve paydalar aynı sayılarla çarpılıp toplanırsa oran değişmez: a/b = c/d = k ise (2a + 3c)/(2b + 3d) = k.
- Çarpım verilirse k'nin karesi çıkar. Örnek: a/2 = b/3 ve a · b = 54 (a, b pozitif) → 2k · 3k = 6k² = 54 → k² = 9 → k = 3 → a = 6, b = 9.
- Zincir oran: a/b = 2/3 ve b/c = 4/5 ise ortak terim b'yi 12 yap: a : b : c = 8 : 12 : 15.
Doğru ve ters orantı
- Doğru orantı: biri kaç katına çıkarsa öbürü de o kadar katına çıkar; y/x = k. Örnek: 3 defter 45 TL ise 8 defter 45 ÷ 3 · 8 = 120 TL.
- Ters orantı: biri kaç katına çıkarsa öbürü o kadar küçülür; x · y = k. Örnek: 60 km/sa hızla 4 saatte gidilen yol 80 km/sa hızla 60 · 4 ÷ 80 = 3 saatte gidilir.
- Doğru orantılı: miktar–fiyat, sabit hızda süre–yol. Ters orantılı: aynı iş için işçi–gün, aynı yol için hız–süre.
- Karar vermek için sor: 'biri artınca öbürü artar mı, azalır mı?' Artıyorsa doğru, azalıyorsa ters orantı.
- Ters orantıda x %25 artarsa y %20 azalır: x · y sabit olduğu için y, 1 ÷ 1,25 = 0,8 katına iner.
Bileşik orantı ve işçi-gün
- İşçi-gün: aynı iş için işçi sayısı · gün sabittir. Örnek: 4 işçi 12 günde bitiriyorsa iş 48 işçi-gündür; 6 işçi 48 ÷ 6 = 8 günde bitirir.
- Bileşik orantıda birden çok büyüklük birlikte değişir; her birinin yönünü (doğru mu, ters mi) ayrı belirle.
- İş problemlerinde: (işçi · günlük saat · gün) ÷ yapılan iş = sabit.
- Örnek: 4 işçi 5 günde 100 parça yapıyorsa 1 işçi 1 günde 100 ÷ (4 · 5) = 5 parça yapar; 6 işçi 10 günde 6 · 10 · 5 = 300 parça yapar.
Orantılı paylaştırma
- Doğru orantılı paylaştırma: 2, 3 ve 5 ile orantılı paylar 2k, 3k, 5k'dir. Örnek: 500 TL → 10k = 500, k = 50 → 100, 150 ve 250 TL.
- Kısa yol: bir kişinin payı = toplam · (kendi payı) ÷ (payların toplamı). Örnek: 500 · 3 ÷ 10 = 150 TL.
- Ters orantılı paylaştırma: 2, 3 ve 6 ile ters orantılı paylar 1/2 : 1/3 : 1/6 ile orantılıdır; 6 ile çarpınca 3 : 2 : 1 olur.
- Ters orantıda en küçük sayı en büyük payı alır.
- Karma paylaştırma: x ile doğru, y ile ters orantılı pay = k · x ÷ y. Örnek: x = 12, y = 3 ise pay 4k'dir.
Harita ölçeği ve birim dönüşümü
- Ölçek = haritadaki uzunluk ÷ gerçek uzunluk; ikisi aynı birimde olmalıdır.
- 1/200 000 ölçekte haritadaki 1 cm gerçekte 200 000 cm = 2 km'dir. Örnek: haritada 4,5 cm → 4,5 · 2 = 9 km.
- Uzunluk: 1 km = 1000 m, 1 m = 100 cm → 1 km = 100 000 cm.
- Hacim: 1 m³ = 1000 dm³ = 1000 litre; 1 dm³ = 1 litre.
- Zaman: 1 saat = 60 dakika. Örnek: 90 dakika = 1,5 saat; 150 dakika = 2,5 saat (2 saat 30 dakika).
Aritmetik ve geometrik ortalama
- Aritmetik ortalama = sayıların toplamı ÷ sayı adedi. Örnek: 4, 7 ve 10'un aritmetik ortalaması 21 ÷ 3 = 7.
- İki pozitif sayının geometrik ortalaması √(a · b)'dir. Örnek: 4 ile 9'un geometrik ortalaması √36 = 6.
- Üç pozitif sayının geometrik ortalaması ∛(a · b · c)'dir. Örnek: 2, 4 ve 8 için ∛64 = 4.
- Ortalama verilince önce toplamı ya da çarpımı bul: aritmetik ortalama 10 ise a + b = 20; geometrik ortalama 8 ise a · b = 64.
- İki pozitif sayıda aritmetik ortalama geometrik ortalamadan küçük olamaz; ikisi ancak sayılar eşitse eşit çıkar. Örnek: 4 ile 9 için 6,5 > 6.
Sık yapılan hatalar
- Doğru ve ters orantıyı karıştırma: işçi sayısı artınca süre azalır (ters), miktar artınca fiyat artar (doğru). 6 işçi bir işi 15 günde bitiriyorsa 9 işçi 22,5 günde değil, 10 günde bitirir.
- Oranı k ile yazmayı unutma: kırmızı/mavi = 2/3 demek 2 kırmızı ve 3 mavi bilye var demek değildir; kırmızı = 2k, mavi = 3k yazılır.
- Birimleri eşitlemeden işlem yapma: 1 km = 100 000 cm, 1 m³ = 1000 litre, 1 saat = 60 dakika. 150 dakika 1,5 saat değil, 2,5 saattir.
- Katsayılar çapraz gider: 7x = 5y ise x/y = 5/7'tir, 7/5 değil.
- Ters orantılı paylaştırmada sayıların terslerini kullan: 2, 4 ve 6 ile ters orantılı paylar 6 : 3 : 2'dir, 1 : 2 : 3 değil.
- Zincir oranda ortak terimi eşitlemeden birleştirme: a : b = 2 : 3 ve b : c = 4 : 5 iken a : b : c = 2 : 3 : 5 yazılmaz; doğrusu 8 : 12 : 15'tir.
Hazırsan şimdi kendini ölç
Her sorudan sonra doğru cevabı ve çözümünü görürsün. Yanlışların, tekrar etmen için defterine eklenir.
Sonraki konu: Sayı ve Kesir ProblemleriSınavMod'nun özgün içeriğidir. Son kontrol: 9 Kasım 2026 Pazartesi.