Asal Çarpanlar, EBOB ve EKOK
Asal çarpanlara ayırma, pozitif bölen sayısı ve bölenlerin toplamı, EBOB ve EKOK bulma, EBOB · EKOK = a · b eşitliği ve fayans, ağaç dikme, periyot, kalanlı bölme problemleri bu konudadır. Problemde EBOB mu EKOK mu kullanılacağını ayırt etmek bu konunun anahtarıdır.
- 1Özeti oku
- 2Testi çöz
- 3Yanlışları tekrar et
Konu özeti
Asal çarpanlara ayırma
- Bir sayıyı tam bölen asal sayılara o sayının asal çarpanları denir. Örnek: 60'ın asal çarpanları 2, 3 ve 5'tir.
- Ayırmak için sayıyı en küçük asaldan başlayarak böl; bölünmeyince sıradaki asala geç. Örnek: 60 ÷ 2 = 30, 30 ÷ 2 = 15, 15 ÷ 3 = 5, 5 ÷ 5 = 1 → 60 = 2² · 3 · 5.
- Her sayının asal çarpanlarına ayrılışı tektir; yalnız çarpanların sırası değişebilir.
- Asal çarpanlar sayılırken her asal bir kez alınır: 72 = 2³ · 3² sayısının asal çarpanları yalnız 2 ve 3'tür.
Pozitif bölen sayısı ve bölenlerin toplamı
- Pozitif bölen sayısı: sayıyı asal çarpanlarına ayır, her üssü 1 artır, çıkan sayıları çarp. Örnek: 72 = 2³ · 3² → (3 + 1) · (2 + 1) = 12.
- Üssü yazılmayan asalın üssü 1'dir: 20 = 2² · 5 → (2 + 1) · (1 + 1) = 6 pozitif bölen (1, 2, 4, 5, 10, 20).
- Tam sayı bölen sayısı, pozitif bölen sayısının 2 katıdır (negatif bölenler de sayılır): 72'nin 24 tam sayı böleni vardır.
- Bölenlerin toplamı: her asalın 1'den başlayan kuvvetlerini topla, sonra çarp. Örnek: 12 = 2² · 3 → (1 + 2 + 4) · (1 + 3) = 7 · 4 = 28.
- Kontrol: 12'nin bölenleri 1, 2, 3, 4, 6, 12 ve toplamları 28'dir. Bölenlere 1 ve sayının kendisi de dahildir.
EBOB (en büyük ortak bölen)
- EBOB: sayıların hepsini tam bölen en büyük sayı.
- Asal çarpanlarla: yalnız ortak asalları al, her birinin EN KÜÇÜK üssünü seç. Örnek: 24 = 2³ · 3, 36 = 2² · 3² → EBOB = 2² · 3 = 12.
- EBOB, sayıların en küçüğünden büyük olamaz.
- Aralarında asal sayıların EBOB'u 1'dir: EBOB(8, 15) = 1. Bir sayı ötekini bölüyorsa EBOB küçük olandır: EBOB(12, 36) = 12.
EKOK (en küçük ortak kat)
- EKOK: sayıların hepsine tam bölünen en küçük pozitif sayı.
- Asal çarpanlarla: bütün asalları al, her birinin EN BÜYÜK üssünü seç. Örnek: 24 = 2³ · 3, 36 = 2² · 3² → EKOK = 2³ · 3² = 72.
- EKOK, sayıların en büyüğünden küçük olamaz.
- Aralarında asal sayıların EKOK'u çarpımlarıdır: EKOK(8, 15) = 120. Bir sayı ötekinin katıysa EKOK büyük olandır: EKOK(12, 36) = 36.
EBOB · EKOK = a · b
- İki sayı için EBOB · EKOK = sayıların çarpımı. Örnek: 12 ile 18 → EBOB 6, EKOK 36 ve 6 · 36 = 216 = 12 · 18.
- Bu eşitlik yalnız İKİ sayı için geçerlidir. Örnek: 2, 4, 6 için EBOB · EKOK = 2 · 12 = 24, ama 2 · 4 · 6 = 48.
- EBOB(a, b) = d ise a = d · x, b = d · y yazılır; x ile y aralarında asaldır ve EKOK = d · x · y olur. Örnek: 12 = 4 · 3, 20 = 4 · 5 → EKOK = 4 · 3 · 5 = 60.
- EBOB her zaman EKOK'u tam böler: 60 ÷ 4 = 15.
Problemde EBOB mu, EKOK mu?
- Aranan uzunluk ya da süre verilen sayılardan KÜÇÜK olacaksa (büyük bir şey eşit parçalara bölünüyor) EBOB, BÜYÜK olacaksa (küçükler birleşip bir bütün kuruyor ya da olaylar yeniden çakışıyor) EKOK kullanılır.
- EBOB işaretleri: kare fayans ya da kare parsel, eşit uzunlukta kesilen çubuklar, eşit aralıklı ağaç ve direkler. Örnek: 12 m ve 18 m'lik iki çubuk eşit ve en uzun parçalara → EBOB(12, 18) = 6 m.
- EKOK işaretleri: 'yeniden ne zaman birlikte', küçük tuğlalardan kare kurmak, 'gruplara ayrılınca hep aynı sayı artıyor, en az kaç kişi'. Örnek: 4 ve 6 günde bir nöbet → 12 gün sonra yine birlikte.
- Kare fayans: kenar = EBOB(en, boy), fayans sayısı = (en ÷ kenar) · (boy ÷ kenar). Örnek: 12 × 18 → kenar 6, fayans 2 · 3 = 6.
- Tuğladan kare: kenar = EKOK(en, boy), tuğla sayısı = (kenar ÷ en) · (kenar ÷ boy). Örnek: 4 × 6 tuğla → kenar 12, tuğla 3 · 2 = 6.
- 'En az kaç fayans/fidan' sorusunda EBOB kullanılır: parça ne kadar büyükse adet o kadar azdır.
Ağaç dikme, gün sayma ve kalanlı problemler
- Kapalı alanın çevresine (köşelere de) ağaç: ağaç sayısı = çevre ÷ aralık. Örnek: 12 m × 18 m bahçe, aralık EBOB(12, 18) = 6 m → 60 ÷ 6 = 10 ağaç.
- Düz yolda iki uca da ağaç: ağaç sayısı = uzunluk ÷ aralık + 1. Örnek: 60 m yola 6 m arayla → 60 ÷ 6 + 1 = 11 ağaç.
- Haftanın gününü bulmak için gün sayısını 7'ye böl, kalan kadar ileri say; başlangıç gününü sayma. Örnek: salıdan 12 gün sonra → 12 = 7 + 5 → salıdan 5 gün ileri = pazar.
- Hepsinde aynı kalan varsa sayı = EKOK · k + kalan. Örnek: 4'e ve 6'ya bölümünden 1 kalan → 12k + 1: 13, 25, 37, ...
- Hepsinde bölen − kalan (eksik) aynıysa sayı = EKOK · k − eksik. Örnek: 4'e bölümünden 3, 6'ya bölümünden 5 kalan → 12k − 1: 11, 23, 35, ...
Sık yapılan hatalar
- Kapalı alanın çevresine ağaç dikerken +1 ekleme: ağaç sayısı = çevre ÷ aralık. Düz yolda iki uçta da ağaç varsa +1 ekle, iki uçta da yoksa 1 çıkar. Örnek: 60 m yola 6 m arayla, uçlara ağaç dikilmezse 60 ÷ 6 − 1 = 9 ağaç.
- Köşeleri iki kez sayma: her kenarı ayrı ayrı (kenar ÷ aralık + 1) hesaplayıp toplarsan her köşeyi iki kez saymış olursun; üçgende 3, dörtgende 4 fazla bulursun.
- Gün sayarken başlangıç gününü sayma: pazartesiden 5 gün sonra cumartesidir, cuma değil. '4 günde bir' demek bir sonraki seferin 4 gün sonra olması demektir.
- EBOB · EKOK = a · b yalnız iki sayı için doğrudur; üç sayıda kullanma.
- Asal çarpanlar sayılırken her asal bir kez yazılır: 40 = 2³ · 5 sayısının asal çarpanları 2 ve 5'tir; toplamları 7'dir, 2 + 2 + 2 + 5 = 11 değil.
- Birimleri eşitle: metre ile santimetre karışıksa önce aynı birime çevir. Örnek: 1,2 m ile 90 cm → 120 cm ile 90 cm → EBOB = 30 cm.
Hazırsan şimdi kendini ölç
Her sorudan sonra doğru cevabı ve çözümünü görürsün. Yanlışların, tekrar etmen için defterine eklenir.
Sonraki konu: Rasyonel ve Ondalık SayılarSınavMod'nun özgün içeriğidir. Son kontrol: 9 Kasım 2026 Pazartesi.